
\prob{005D}{数组的个数}

已知整数$a, b, c, d$满足

\[ \begin{cases}
  0 < a < b < c < d < 96 \\
  a + d = b + c \\
  bc - ad = 69 \\
\end{cases} \]

求满足条件的数组$(a, b, c, d)$的个数。
\problabels{yellow/数论, green/方程相关问题}

\ans{$94$个}

\subsection{换元法}

基本思路：先运用前两式进行换元，再通过第三式求出所换的值，最后分类讨论列不等式求出个数。

由于$0 < a < b < c < d$且$a + d = b + c$，不妨设

\[ \begin{cases}
  a = k - p \\
  b = k - q \\
  c = k + q \\
  d = k + p \\
\end{cases} \]

其中$k, p, q$为正整数。当$p, q$确定时，数组$(a, b, c, d)$由$k$完全确定。$p, q$或$k$不同时，数组$(a, b, c, d)$互不相同。由$bc - ad = 69$知

\begin{align*}
  (k - q)(k + q) - (k - p)(k + p) &= 69 \\
  p^2 - q^2 &= 69 \\
  (p - q)(p + q) &= 69 \\
\end{align*}

而$69 = 1\times69 = 3\times23$，且$p - q < p + q$，故

\[ \begin{cases}
  p - q = 1 \\
  p + q = 69 \\
\end{cases} \text{或} \begin{cases}
  p - q = 3 \\
  p + q = 23 \\
\end{cases} \]

解得$p = 35$或$p = 13$。当$p = 35$时，

\begin{align*}
  a &> 0 \\
  k - 35 &> 0 \\
  k &> 35 \\
  d &< 96 \\
  k + 35 &< 96 \\
  k &< 61 \\
\end{align*}

故此时$35 < k < 61$，而$k$为整数，故此时有$61 - 35 - 1 = 25$个数组$(a, b, c, d)$满足情况。同理可知当$p = 13$时，有$83 - 13 - 1 = 69$个数组$(a, b, c, d)$满足情况。故总数为$25 + 69 = 94$个。

综上，有$94$个数组满足情况。
